Динамические прогибы при падении груза. Удар – что характерно для него? Динамические нагрузки, допустимые

Под ударом понимается взаимодействие движущихся навстречу друг другу тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени.

Ударная нагрузка является динамической. Время удара измеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины, например, действие кузнечного молота на кусок металла, удар падающего груза при забивке свай и др.

За очень малый промежуток времени скорость ударяющегося тела становится равной нулю. В этот момент напряжения и деформации в системе достигают наибольших значений. Целью расчета на удар и является определение наибольших деформаций и напряжений.

Система, подвергающаяся удару, может испытывать различные деформации, такие как сжатие, растяжение, изгиб, кручение, изгиб с кручением и др. Поэтому различают продольный, поперечный и скручивающий удары (рис. 13.5).

Рис. 13.5. Схемы ударных нагрузок

На рис. 13.5, а и 13.5, б показаны продольные удары – сжимающий и растягивающий, на рис 13.5, в показан поперечный изгибающий удар.

Скручивающий удар имеет место при падении груза G с высоты h или при резком снижении угловой скорости вала с маховиком, например, при внезапной его остановке (рис. 13.5, г, д).

Точное решение задачи о напряжениях и деформациях при ударе затруднительно, потому что неизвестен закон изменения скорости при соударении тел и, следовательно, действующих при ударе нагрузок, неизвестны силы сопротивления при ударе, чрезвычайно сложен закон распространения скорости деформации в системе, воспринимающей удар.

В практике применяют упрощенные методы расчета, основанные на следующих основных допущениях:

1) деформации стержня от ударяющего груза распространяются по всей длине стержня, они подчиняются закону Гука и подобны деформациям, возникающим от статического приложения того же груза. Поэтому связь между динамическими силами и перемещениями остается такой же, как и при статической нагрузке;

2) опорные устройства, как правило, полагают абсолютно жесткими;

3) ударяющее тело является абсолютно жестким и при ударе не отскакивает от системы.

Изучение напряжений и деформаций при ударе основано на использовании закона сохранения энергии. При этом предполагается, что кинетическая энергия падающего груза А численно равна потенциальной энергии деформации упругой системы U :

Рассмотрим сначала расчет на удар в случаях, когда масса упругого тела, подвергающегося удару, мала и ею можно пренебречь. Продольный ударгруза G падает с высоты h и ударяется о стержень, вызывая его сжатие на величину , которая больше деформации стержня ∆ ст при статическом действии груза G (рис. 13.6).

Кинетическая энергия падающего груза равна:

Потенциальная энергия численно равна площади треугольника диаграммы F дин – ∆ дин (рис. 13.7).

Рис.13.6. Схема удара сжатием

Рис. 13.7. Схема для определения потенциальной

энергии деформации при ударе

С учетом зависимости А = U имеем:

Выразим нагрузки через деформации:

Получим квадратное уравнение для определения

В формуле перед корнем следует взять знак «плюс», так как , тогда получим:

Динамический коэффициент будет равен:

Зная коэффициент, можно определить и напряжения:

Динамический коэффициент зависит от величины:

Следовательно, напряжения при ударе зависят не только от площади поперечного сечения стержня A (как при статическом приложении нагрузки), но и от длины стержня и жесткости материала Е . Чем больше длина l , тем напряжения при ударе будут меньшими. С увеличением модуля упругости напряжения увеличиваются.

С целью уменьшения динамических напряжений в технике используются различные амортизаторы, увеличивающие податливость стержня (резиновые прокладки, пружины) (рис. 13.8).

Рис. 13.8. Схема удара сжатием

с амортизатором – пружиной

В этом случае

Рассмотрим частные случаи.

1. При мгновенном приложении нагрузки, когда H = 0:

При этом напряжение и перемещение в два раза больше, чем при статическом приложении нагрузки.

2. Если высота падения груза Н велика, т. е.

то единицей в подкоренном выражении для определения динамического коэффициента можно пренебречь, тогда:

3. При очень больших величинах

можно пренебречьединицей и перед корнем. Тогда

Если известна скорость падения груза, а не высота падения, то динамический коэффициент может быть выражен через скорость. При свободном падении

·

Определение динамического коэффициента при продольном ударе стержней с переменным поперечным сечением.

Сравним прочность двух стержней, подвергающихся продольному удару. Один стержень имеет постоянную площадь сечения А , а другой на участке длиной l имеет площадь сечения A , а в пределах остальной длины стержня – nА , где п > 1 (рис. 13.9).

При статическом воздействии груза F оба бруса равнопрочны, так как наибольшие напряжения (при расчете без учета концентрации напряжений) в каждом из них

Рис. 13.9. Схема продольного удара

При ударном действии нагрузки динамический коэффициент для первого бруса равен:

Для второго бруса

Если длина l 1 очень мала, что имеет место, например, при наличии поперечных выточек, то приближенно можно принять:

Динамический коэффициент для второго стержня:

т. е. в раз больше, чем для первого стержня. Таким образом, второй брус при ударном действии нагрузки менее прочен, чем первый. Поэтому оказывается более выгодным уменьшать площадь сечения по всей длине стержня.

В качестве примера можно привести болт, передающий от одной части конструкции на другую растягивающий удар. Участок болта с нарезкой, имеющий меньший диаметр, будет работать как выточка. Обрыв болта весьма вероятен. Для улучшения конструкции необходимо сделать его площадь всюду (или почти всюду) равной площади по внутреннему диаметру нарезки. Этого можно достигать путем обтачиванием болта или высверливанием в нем канала (рис. 13.10).

Рис. 13.10. Болт, работающий на растягивающий удар

Поперечный изгибающий удар.

Рассмотрим балку, свободно лежащую на двух шарнирных опорах. Балка изгибается под действием груза F , падающего с высоты H (рис. 13.11).

Рис. 13.11. Схема поперечного изгибающего удара

Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле

где f ст – прогиб балки в месте падения груза при статическом ее нагружении.

Если а = b = l /2, то

Так же, как и при продольном ударе, внезапное приложение нагрузки на балку вызывает напряжение

Условие прочности при изгибающем ударе имеет такой же вид,
как и при продольном, т. е.

Учет массы тела, испытывающего удар.

Если груз падает на стержень, обладающий значительной массой, то решение значительно усложняется. Можно применить приближенное решение, оно сводится к замене реальной массы стержня приведенной массой, сосредоточенной в месте удара. Учет массы тела может оказать существенное влияние на динамические напряжения.

Если груз G падает на стержень, вес которого Q значителен, то динамический коэффициент определяется по формуле

где Н – высота падения;

β – коэффициент приведения массы стержня. Он зависит от способов закрепления концов стержня и вида удара (продольный, поперечный и т. д.). Для определения коэффициента β рассматривают кинетическую энергию стержня при его движении вследствие удара;

Q – вес ударяемого стержня;

G – вес падающего груза.

Рассмотрим частные случаи.

1. Продольный удар. Стержень постоянного сечения A защемлен одним концом. Объемный вес материала γ. Будем считать, что в момент удара верхний конец ударяемого стержня получает скорость V . Скорость нижележащих сечений стержня изменяется по линейному закону, достигая нулевого значения в нижнем сечении стержня (рис. 13.12).

Скорость движения произвольного сечения, расположенного на расстоянии х от нижнего сечения, будет равна:

Рис. 13.12. Схема продольного удара

Так как частицы стержня движутся, то стержень обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия элементарной частицы стержня длиной dx будет равна:

Кинетическая энергия всего стержня с учетом данной формулы равна:

где т прив – приведенная масса стержня.

2. Поперечный удар. В этом случае балка постоянного поперечного сечения защемлена одним концом и испытывает удар груза на свободном конце (рис. 13.13)

Рис. 13.13. Схема консольной балки при ударе

Для балки, закрепленной шарнирно, удар приходится посередине пролета (рис. 13.14).

Рис. 13.14. Схема поперечного удара для однопролетной балки

Учет массы ударяемого стержня может значительно уменьшить динамический коэффициент.

Вопросы для самопроверки 1. Какие нагрузки динамическими? называются статическими и какие 2. Какое явление называется ударом? 3. Какая гипотеза лежит в основе теории удара? 4. Что положено в основу вывода формул для определения перемещений при ударе? 5. Что представляет собой «внезапное действие нагрузки» и чему равен коэффициент динамичности при таком воздействии? 6. Как определяются перемещения и напряжения при ударе? 7. Зависят ли напряжения при ударе от модуля упругости материала системы, подвергающейся удару?

УДАР Как уже известно, статической называется нагрузка, которая весьма медленно возрастает от нуля до своего конечного значения При быстро возрастающей нагрузке учитываются силы инерции, появляющиеся в результате деформации системы Силы инерции необходимо учитывать также при действии нагрузки, вызывающей движение тела с некоторым ускорением Такие нагрузки, а также вызванные ими деформации и напряжения называются динамическими

УДАР Рассмотрим какую-либо неподвижно закрепленную упругую систему, на которую с высоты h падает груз Р (рис.) Полагая, что удар неупругий, ударяющее тело не отскакивает, а перемещается вместе с системой В некоторый момент времени скорость перемещения груза становится равной нулю Деформация и напряжения в достигают наибольших значений конструкции Затем происходят постепенные затухающие колебания системы и груза и устанавливается состояние статического равновесия, при котором деформации конструкции и напряжения в ней равны деформациям и напряжениям от статически действующей силы Р

УДАР В основе приближенной теории удара лежит гипотеза о том, что эпюра перемещений системы от груза Р при ударе подобна эпюре перемещений, возникающих от этого же груза, но действующего статически Например, эпюра наибольших (динамических) прогибов балки от удара по ней падающего груза имеет вид Эпюра прогибов от статически приложенных сил (статических прогибов) показана на рис. На основании указанной гипотезы (1)

УДАР Рассмотрим сначала расчет на удар, когда масса упругого тела мала и ее можно принять равной нулю. Для таких случаев приведенная гипотеза становится точной, а не приближенной Тогда работа груза в результате его падения равна В момент времени, когда деформация системы достигает наибольшей величины, скорости движения груза и системы, а следовательно, и кинетическая энергия их равны нулю Работа груза в этот момент равна потенциальной энергии деформации упругой системы (2) Из сформулированной гипотезы следует, что динамические перемещения можно получить путем умножения перемещений от статического действия силы Р на динамический коэффициент

УДАР Таким образом, перемещение от динамического (ударного) действия нагрузки можно рассматривать как статическое перемещение от силы Тогда потенциальная энергия деформация системы (3) Подставим это выражение в равенство (2): или С учетом формулы (1) получим выражение: Из этого уравнения (4) следует, что (4) (5) В формуле (5) перед радикалом взят знак «плюс» , т. к. прогиб не может быть отрицательным Скорость падающего груза в момент соприкосновения с системой, подвергающейся удару, связана с высотой падения соотношением или

УДАР Теперь формулу (5) можно представить в следующем виде: (6) На основании формул (1), (5) и (6) получим следующее выражение динамического коэффициента: (7) Из принятой гипотезы следует, что динамические напряжения относятся к статическим напряжениям так же, как динамические перемещения к статическим: (8) Таким образом, для определения наибольших напряжений и перемещений при ударе напряжения и перемещения, найденные в результате расчета системы на силу Р, действующую статически, следует умножить на динамический коэффициент или рассчитать систему на действие некоторой статической силы, но равной произведению Рkд

УДАР Рассмотрим случай, когда высота падения груза равна нулю Такой случай носит название нагрузки внезапного (мгновенного) действия Такой случай возможен, если выбить стойку поддерживающую какую – либо конструкцию (например, колонну перекрытия или стойку опалубки и т. д.) Тогда при h=0 из формулы (7) получим: (9) Следовательно, при внезапном действии нагрузки деформации системы и напряжения в ней вдвое больше, чем при статическом действии той же нагрузки Поэтому, например, при производстве разопалубчных работ следует избегать внезапного приложения нагрузки, где это возможно

Продолжительность удара очень мала и сложно вычислить ускорения частиц ударяемой конструкции. Поэтому, воспользоваться принципом ДАламбера затруднительно и обычно здесь используют закон сохранения энергии.

Для удобства расчета на удар вводят условное понятие динамическая сила . Эта такая сила, которая, будучистатически приложенной в точке удара, вызовет такие же перемещения (деформации) ударяемого тела, как и при ударе.

Расчет на удар без учета массы ударяемого бруса

Рассмотрим закрепленный упругий брус, на который с высоты падает груз весом. При этом брус может испытывать: а) продольные деформации (колонны, сваи) рис. 9.1а, б) изгибные деформации (балки) рис. 9.1б.

Рис. 9.1

После удара, когда груз останавливается в нижнем положении, деформации каждого сечения бруса достигают наибольших значений. Их обозначим:
деформации в точке удара,
в любом сечении бруса с координатой(на рис. 9.1б в эти деформации (прогибы) показаны сплошной линией). Затем происходят затухающие колебания бруса, в конце которых устанавливаются деформации
(в точке удара) и
в любом сечении, соответствующие статическому действию груза(на рис. 9.1б эти деформации показаны пунктирной линией).

Расчет проведем при следующих допущениях:

динамический коэффициент (9.3)

Из третьего допущения и рис. 9.1б следует с учетом (9.3)

(9.4)

Согласно принятого выше определения динамической силы , от ее статического приложения возникнут деформации и , а от статического нагружения силойпоявятся
и. По закону Гука деформации пропорциональны нагрузкам, поэтому

(6)

По закону Гука и напряжения пропорциональны нагрузкам

(9.5)

Здесь
динамические напряжения, т.е. возникают в брусе при ударе;
статические напряжения, возникают при статическом нагружении силой.

Из (9.4) и (9.5) следует

Итак, деформации и напряжения в любом сечении бруса при ударе можно определить по (9.6), если вычислить
динамический коэффициент. А деформациии напряжения
при любом виде статической нагрузки (осевой, изгибной, кручении и т.д.) мы умеем определять из вышеприведенных разделов.

Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Груз при падении проходит путь
и совершает работу
.

При статическом нагружении силой получим ту же деформацию, что и при ударе, потенциальная энергия деформации бруса при этом, как известно, определяется так
. Силаприкладывается в т.К , куда падает груз . По закону сохранения энергии
, т.е.

(7)

Из (6)
, подставим в (7) получим

(8)

Сокращаем на и учитывая из (9.4), что
найдем

или (9)

Относительно неизвестной получили стандартное квадратное уравнение типа

Здесь . Решение квадратного уравнения известно из справочников:
. В нашем случае получим

(10)

При ударе всегда
, поэтому выбираем знак (+) и формулу (10) преобразуем так

или окончательно (11)

Согласно (9.4)
, тогда из (11) получим

(9.8)

Величина  ст  статическая деформация бруса в точке удара от статического приложения силы в точке «K » падения груза весом . Определяется известными методами:

Рис. 9.1а: По закону Гука при осевой нагрузке

Рис. 9.1б:
прогиб балки в т. K от силы , приложенной в т.K . Определяется известным методом Клебша из раздела «Плоский изгиб балок».

Скорость груза, падающего с высоты , как известно, определяется так
, откуда
. Подставим это в (9.8) получим

(9.9)

Преобразуем
так:

(12)

Здесь:
энергия падающего груза в момент начала удара;

потенциальная энергия деформации бруса от статического нагружения его силой в т.K .

С учетом (12) из (9.8) найдем

(9.10)

Из (9.8) следует, что чем больше
, т.е. чем больше деформируется брус от статической нагрузки, тем меньше
и по (9.6) меньше напряжения при ударе. Так появилась идея ставить в конструкциях, испытывающих ударные нагрузки, различные амортизаторы, рессоры, пружины и поясняется поговорка «знал бы, где упаду, подстелил бы солому».

Пример. Порядок расчета балки на удар.

кладываем силу , равную весу груза (рис.б). Определяем от нее опорные реакции и строим эпюру
изгибающих моментов. Из Эп.
находим
и, зная размеры и форму поперечного сечения балки, вычисляем
максимальные напряжения от статического нагружения. Для вычислений по (9.6) надо знать
.

Для балки б) со статической силой для двух участков запишем дифференциальные уравнения изгиба
по методу Клебша, интегрируем их и из условий закрепления балки находим константы интегрирования. Строим график прогибов балки, приблизительный вид которого показан на рис.б. Находим
прогиб балки в сечении «K », это и есть
. По (9.8) вычисляем
и далее

В консоли максимальный прогиб при ударе
.

В пролете находим
максимальный прогиб от статического нагружения и далее максимальный прогиб при ударе
.

Существует термин «падение с высоты
». Из (9.8) в этом случае получим
. Чтобы этого не было, груз надо опускать плавно не только до соприкосновения с конструкцией, но и дальше, при перемещении груза вместе с деформируемой конструкцией до полной их остановки.

Учет массы ударяемого тела (бруса )

Учет массы ударяемого тела достаточно сложен, поэтому приведем окончательные формулы без вывода их.

Динамический коэффициент в этом случае определяется по формулам, аналогичным (9.8)-(9.10)

Здесь:
;

вес ударяемого тела, для бруса

редукционный коэффициент, определяется так

, для бруса
(9.12)

Вычислив , определяем коэффициент
и далее
.

Пример 1. Вычислить для колонны, показанной на рис. 9.1а. По закону Гука для сеченияот статического нагружения силой:
,
, где
площадь поперечного сечения колонны,
модуль упругости материала.

Пример 2. Вычислить для балки, показанной на рис. 9.1б, когда грузпадает на середину балки.

Опорные реакции
, дифференциальные уравнения изгиба балки от статического нагружения силой:

т.е. ввиду симметрии ограничимся одним участком.

Граничные условия: 1)
; 2)
(ввиду симметрии), откуда найдем
. Тогда, т.к.
, то
, а
,

подставим
получим
:

; Найдем

.

Все полученные выше формулы приближенные. Чем большей жесткостью обладает ударяемый брус, тем менее точными будут результаты расчетов. Более точные результаты получаются при рассмотрении волновой теории удара.

Динамический удар

В настоящей статье нет возможности касаться теории упру-гости и теории динамического удара для альпинистской веревки. Ограничимся приведением результатов подсчетов, отвечающих на вопрос, - какой силы динамический удар возник бы при жестком закреплении веревки, если предположить, что она не порвется.

Расчет был сделан для случаев, когда высота падения равна длине веревки и когда она вдвое больше длины веревки
. Оказалось, что в первом случае возникает удар в 1300 кг, во втором около 1750 кг.

Таким образом ясно, что жестко закрепленная веревка не может являться удовлетворительным поглотителем энергии падающего тела, поскольку ни веревка, ни человек не могут выдержать возни-кающего динамического удара.

Приемы страховки как амортизаторы энергии падения.

Основное уравнение страховки

Основным амортизатором (поглотителем) во всех приемах стра-ховки является работа трения. Какой бы способ страховки мы ни взяли, - всюду мы столкнемся с трением веревки о выступ, корпус человека или крюк.

"При страховке трение равно произведению величины силы тре-ния в точке страховки на длину протравленной веревки.

Падающее тело остановится, если работа трения полностью ком-пенсирует работу (энергию) падения. Отсюда нетрудно написать уравнение сохранения энергии для падения тела по отвесу 1 .

где Р - вес упавшего тела в килограммах, H - высота падения в мет-рах, h-длина протравленной веревки в метрах и R - сила трения в месте страховки в килограммах.

Отсюда легко найти, чему равна длина протравливания:

Эта формула является основной формулой поглощения энергии при падении тела. Она положена в основу всех расчетов по технике страховки и в дальнейшем изложении употребляется в таком или не-сколько измененном виде при рассмотрении всех способов страховки.

Динамические нагрузки, допустимые

для страхующего и страхуемого

В большинстве случаев, имеющих место при страховке, динамический удар, получаемый страхуемым и страхующим, бывает разли-чен, причем первый испытывает больший удар. Объясняется это тем, что различные скальные выступы, на которых перегибается веревка, например, край площадки, крючья, ледоруб, смягчают удар, идущий от упавшего к страхующему.

Чем большее сопротивление удару окажет страхующий (т.е. чем крепче зажмет веревку, напряженнее будет держать корпус), тем сильнее будет сила удара и соответственно меньше веревки при-дется протравить для задержания упавшего.

Однако проведенные испытания и соответствующие расчеты по-казали, что для каждого метода страховки существуют свои пре-делы допустимых нагрузок, выше которых страховка может оказать-ся не только не действенной мерой для задержки упавшего, но даже будет опасностью для страхующего.

Известно, что многие сильные альпинисты могут в стойке стра-ховки через плечо выдержать вес 3-4 человек, т. е. около 220-260 кг. Но из этого не следует, что такую же нагрузку можно выдер-жать при ударе. Устойчивость человека к статическим и динамиче-ским нагрузкам различна. Устойчивость к динамической нагрузке обусловливается не только физической силой человека, но и его нервной системой, скоростью рефлекса, тренировкой, навыком.

Опыты, произведенные с различными страхующими (в опытах приняло участие шесть человек) при условии отвесного падения гру-за весом в 80 кг показали, что при страховке через плечо для альпи-ниста средней тренированности можно допустить динамический удар-до 100-130 кг.

При больших нагрузках страхующий обычно теряет устойчи-вость. При страховке в сидячем положении через поясницу устойчи-вость корпуса несколько повышается и допустимая динамическая нагрузка достигает 150-160 кг.

При применении приемов страховки с крючьями, через выступ, ледоруб, динамический удар, воспринимаемый страхующим, как пра-вило, колеблется в пределах нескольких десятков килограммов.

Специальных опытов по отысканию предельных нагрузок, до-пустимых для страхуемого, бригадой ЦНИИФК не производилось. Было проведено несколько пробных падений человека на крутом ледяном склоне (62°) и на фирновом склоне крутизной в 35°. Во всех остальных опытах страхуемый был заменен на отвесных уча-стках деревянным грузом, а на склонах - чучелом, по размерам и весу, соответствовавшим человеческому телу. По динамометру, при-крепленному к падающему человеку, грузу или чучелу определялась величина динамического удара на страхуемого. Средние результаты произведенных опытов сведены в прилагаемой табл. 1.

Возникает вопрос: может ли человеческий организм выдержать такую динамическую нагрузку?

До некоторой степени ответ на этот вопрос может быть получен из довольно обширных сведений по парашютизму и авиации. Не имея возможности остановиться на них подробнее, укажем, что при раскрытии парашюта потеря скорости происходит в течение 0,3-0,6 секунд и прыгающий испытывает динамическую нагрузку приблизительно в 600 кг. Однако грудная обвязка альпиниста резко отличается от подвесной системы парашютиста как по площади со-прикосновений с телом, так и по равномерности распределения на-грузки на грудную клетку и ноги.

Опыты, проведенные с человеком, падающим на ледяном скло-не, показали, что даже нагрузка в 120-150 кг крайне болезненна из-за несовершенства грудной обвязки. Назрела необходимость найти такую систему грудной обвязки, при которой возможная на-грузка в 300-400 кг не представит опасности для падающего.

II . ВЕРЕВКА И ЕЕ СВОЙСТВА

В настоящем разделе излагаются основные результаты, полу-ченные бригадой при статических и динамических испытаниях веревок, а также некоторые сведения из работ других авторов. Не-достаток места не позволяет привести весь имеющийся у нас мате-риал по способам применения веревки для грудной обвязки и свя-зывания, обосновав соответствующие практические рекомендации.

Очень часто альпинисты превращают веревку в своеобразный фетиш, забывая о том, что только в руках сознательного и умелого страхующего она., становится надежным средством. Статистика несчастных случаев (главным образом за границей) насчитывает де-сятки смертей, происшедших в результате разрыва веревки.

Альпинистская веревка обычно имеет диаметр 10-14 мм и прочность от 1000 до 1200 кг. Более толстые веревки тяжелы и не-удобны в употреблении, тем более, что при намокании вес и диа-метр их увеличиваются. Наиболее подходящим материалом для аль-пинистских веревок считается длинноволокнистая пенька. Льняное волокно недостаточно прочно и неудобно в употреблении, так как пряди такой веревки легко раскручиваются.

Веревки бывают крученые и плетеные. Плетеные более гибкие, но уступают крученым в прочности, - крученая веревка 10-мм диаметра соответствует 12-мм плетеной. При намокании плетеная веревка впитывает значительно больше влаги.

Просушка плетеной веревки более затруднительна; в ее внут-ренние волокна не проникает воздух и в них быстрее начинаются гнилостные процессы.

Репшнур представляет собой крученую или плетеную веревку диаметром 6-8 мм. До сих пор считалось, что прочность репшнура составляет 250-300 кг. Однако опыты нашей бригады показали, что такая прочность в ряде случаев не гарантирует безопасности применения репшнура для самостраховки, поскольку при некоторых способах страховки петля может подвергнуться действию динамиче-ского усилия до 200 кг. Учитывая, что в узлах веревка теряет до 50% своей прочности, необходимо, чтобы репшнур обладал проч-ностью не ниже 500 кг.

Из известных нам материалов и изделий веревка из раститель-ных волокон является пока наилучшим средством страховки и по-этому должна подвергаться тщательному и всестороннему изучению и усовершенствованию.

Техника страховки должна исходить из свойств и возможно-стей веревки.

Изучая качество альпинистской веревки, мы главным образом интересуемся ее прочностью, гибкостью, упругими свойствами и работоспособностью, т. е. способностью за счет своего растяжения поглощать некоторое количество килограммометров работы падаю-щего тела.

Исследования бригады показали, что веревка не подчиняется полностью закону упругости, который действителен для большин-ства однородных тел. Если для упругих тел величина удлинение пропорциональна действующей растягивающей силе, то при растя-жении веревки мы наблюдаем сначала значительное приращение длины, а затем по мере увеличения растягивающей силы рост удли-нения уменьшается.

Объяснение такому явлению следует прежде всего искать в том, что веревка изготавливается из большого числа довольно коротких волокон. Волокна собираются в пряди, из которых и скручивается веревка.

Поэтому-то при растяжении внутри таких прядей вначале про-исходит как бы расправление волокон, сдвиг их относительно друг друга и, наконец, удлинение самих волокон.

Различают два вида удлинений: остаточное, которое остается после прекращения действия растягивающей силы, и упругое, кото-рое исчезает, как только перестает действовать растягивающая? сила. Обычно для различных упругих материалов остаточное удли-нение бывает небольшим. Как показали наши исследования и ра-боты других авторов, для веревки имеет место обратная картина: очень значительное остаточное удлинение при относительно неболь-шом упругом удлинении. Это является серьезным недостатком ве-ревки, резко снижающим ее работоспособность после первого же сильного растяжения.

Вопросу о прочности и работоспособности крученых и плетеных веревок были посвящены работы Сикста, Хубера и Генри. Они по-казали, что крученая и плетеная веревки, сделанные из одного и того же материала, при одинаковом весе одного погонного метра имеют различную прочность и растяжимость. Из экспериментальных данных следует, что крученая веревка обладает более высо-ким пределом прочности. Плетеная веревка имеет большее оста-точное удлинение при относительно небольших нагрузках, в резуль-тате чего при повторных растяжениях ее работоспособность резко снижается. При статических испытаниях авторы нашли, что для но-вой крученой веревки предел прочности - около 1000-1100 кг, максимальная ее работоспособность (вплоть до разрыва) выра-жается в 45-50 кг-м на 1 м ее длины.

При динамических испытаниях была определена и критическая высота падения, приводящая к разрыву веревки. Авторы нашли, что при длине веревки в 1 м разрыв наступает при падении более чем на 0,6 м.

Динамические испытания веревок, проведенные нашей брига-дой, были организованы на стенде высотой в 11 м, позволявшем испытывать веревки в условиях, более близких к страховке в горах. Опыты проводились при различных соотношениях длины веревки высоты падения, которые с предельной ясностью показали недо-пустимость жесткого закрепления веревки при падениях по отвесу. Во всех опытах веревка рвалась в верхнем узле, что полностью под-тверждало теорию распространения динамического удара. Разрыв наступал около узла в среднем при 50% прочности, установленной статическими испытаниями. Отсюда следует, что предельная рабо-тоспособность веревки, найденная при статическом растяжении (45-50 кг-м), в действительности при условиях страховки умень-шается вдвое и составляет всего 20-25 кг-м. Кроме того, указанная работоспособность относится к новым, еще не вытянутым образ-цам; у веревки же, бывшей в употреблении, работоспособность до-полнительно снижается по мере вытягивания. По этому вопросу интересные данные, сведенные в табл. 2, приводятся в статье Шварца 1 .

Таблица 2

Работоспособность веревки

Мы расширили наблюдения и провели серию испытаний с мок-рыми и подсушенными образцами. По прочности и работоспособ-ности мокрая веревка почти не уступает сухой. Мокрая и влажная веревка из сизальской пеньки теряет в прочности от 5 до 10%.

В таблицу 3 сведены основные результаты статических испыта-ний, проведенных бригадой.

Тщательно высушенная веревка полностью восстанавливает свою прочность.

Большую опасность представляют гнилостные процессы, кото-рые легко возникают в волокнах веревки. Известны случаи, когда внешне почти новая веревка при испытаниях рвалась при 50% я даже более низком проценте нормальной разрывной нагрузки.

Таблица 3

Испытание веревок на растяжение

Очень существенным недостатком является плохая сопротивляе-мость волокон веревки всякого рода срезывающим усилиям.

Если при растяжении веревка из сизальской пеньки имеет пре-дел прочности приблизительно около 1100 кг, то при срезывающем направлении усилия разрыв происходит при нагрузках в 500-600 кг в зависимости от площади, на которую действует это усилие.

Срезывающее усилие возникает во всех узлах, в месте перегиба веревки в карабинах, на выступах. Этим объясняется то обстоятель-ство, что разрыв веревки, как правило, происходит около узла или в карабине.

Поэтому альпинисту следует помнить, что новая доброкаче-ственная веревка может выдержать, как максимум, удар в 500 кг. Эта величина очень скоро (после 5-10 дней употребления) сни-жается еще на 25-30%, а через 1-2 сезона пользования, может составлять уже меньше половины, около 200-250 кг.

Повисают на дедушкином портрете. И мы сами сегодня не те , что были вчера , то, что оживает в нас утром, иное... , чем то, что уснуло вечером. И меняются не ...

На рисунке 5.1 показаны нагрузки, действующие на балку. Равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q представляет собой собственный вес балки, а нагрузка p i – инерционные силы. Сила S (уси-

лие в тросе) равна по величине равнодействующей нагрузок q и p i направлена в противоположную сторону, т.е. уравновешивает эти нагрузки.

Инерционные силы p i возникают после включения двигателя крана

и вызывают изгиб балки (дополнительно к изгибу от действия собственного веса q . В результате изгиба различные сечения балки перемещаются

при подъеме с различными ускорениями a . Поэтому в общем случае интенсивность p i инерционной нагрузки переменна по длине балки.

В частных случаях, например когда жёсткость балки при изгибе весьма велика или когда сечение A , в котором балка прикреплена к тросу, поднимается на значительную высоту с постоянным ускорением, влиянием деформаций балки, вызванных инерционными силами p i на

величины ускорений a , можно пренебречь. В этих случаях можно считать, что ускорения всех сечений балки одинаковы и равны ускорению сечения i равномерно распределена по длине балки.

Аналогично и при решении ряда других динамических задач можно пренебрегать влиянием деформаций системы на распределение в ней ускорений, а следовательно, и на распределение инерционных сил.

В качестве примера рассмотрим расчёт вертикального бруса постоянного сечения, поднимаемого вверх силой S , превышающей вес бруса G (рис. 5.1). Кроме силы S на брус действуют равномерно распределённая по его длине вертикальная нагрузка интенсивностью q = G l от соб-

Ускорение a направлено в сторону действия силы S , т.е. вверх, величину его принимаем одинаковой для всех поперечных сечений бруса. Поэтому нагрузка p i равномерно распределена по длине бруса и направ-

лена в сторону, противоположную ускорению, т.е. вниз.

Составляем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось x :

∑ X = S − G − p i i = 0 , откуда p i = (S − G ) / l .

Нормальное напряжение в поперечном сечении бруса, отстоящем на расстояние x от его нижнего конца,

Наибольшее напряжение возникает в верхнем сечении бруса:

σ max = S .

5.3. РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ УДАРЕ

Под ударной понимается всякая быстроизменяющаяся нагрузка. При ударе различные точки системы получают некоторые скорости, так что системе придаётся кинетическая энергия, которая переходит в потенциальную энергию деформации конструкции, а также в другие виды энергии – прежде всего в тепловую.

При определении динамических допускаемых напряжений следует учитывать изменение механических характеристик материала. Однако ввиду недостаточной изученности этого вопроса расчёт на прочность при динамической нагрузке обычно ведут по статическим характеристикам, т.е. условие прочности имеет вид

При ударе возникают местные деформации в зоне контакта и общие деформации системы. Условимся рассматривать только общие деформации системы, и предположим, что динамические напряжения не превосходят предела пропорциональности материала.

Для приближённого определения напряжений и перемещений сечений в момент наибольшей деформации системы в практических расчётах применяется энергетический метод, который применим в тех случаях, когда скорость ударяющего тела мала по сравнению со скоростью распространения ударной волны, а время соударения значительно больше времени распространения этой волны по всей системе.

Таким образом, простейшая теория удара основана на следующих допущениях:

1. Удар считается неупругим , т.е. ударяющее тело продолжает двигаться вместе с ударяемой конструкцией, не отрываясь от неё. Иными словами ударяющее тело и ударяемая конструкция имеют общие скорости после удара.

2. Ударяемая конструкция имеет лишь одну степень свободы , и вся масса конструкции сосредоточена в точке удара.

3. Рассеянием энергии в момент удара пренебрегают, считая, что вся кинетическая энергия ударяющего тела переходит в потенциальную энергию деформации ударяемой конструкции, движение которой происходит при отсутствии сил сопротивления.

4. Ударяемая конструкция считается идеально упругой .

Это означает, что зависимость между динамическими усилиями и ими вызванными перемещениями, точно так же подчиняется закону Гука, как и при статическом действии нагрузок (рис. 5.2).

Отношение динамических и статических перемещений называется коэффициентом динамичности или динамическим коэффициентом

В соответствии с законом Гука

где σ д # динамические напряжения; σ ст # статические напряжения.

5.4. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ УДАР

Предположим, что груз массой m падает с некоторой высоты h на упругую систему, масса которой мала по сравнению с массой груза. Упругую систему будем считать невесомой (рис. 5.3, а , б ).

Груз в процессе падения выполняет работу

где δ д – динамический прогиб системы (перемещение точки удара) в мо-

мент наибольшей деформации.

На рисунке 5.4 показано, что работа соответствует площади прямоугольника abde , так как величина веса груза Q в процессе удара не меняется.

Q = mg

Q = mg

δд

δд

Данная работа накапливается в системе в виде потенциальной энергии, которая равна работе внутренней силы R , вызывающей прогиб S при ударе. На рисунке 5.2 эта потенциальная энергия с учётом принятых выше допущений соответствует площади треугольника acd , так как сила R изменяется от нуля до конечного значения, равного R д , по линейному

закону. Таким образом, потенциальная энергия равна

Положительный знак перед радикалом взят потому, что искомыми являются наибольшие деформации. Если груз после удара остаётся на упругой системе, то при отрицательном знаке перед радикалом решение данного уравнения даёт наибольшее отклонение точки удара при возвратном движении.

После нахождения k д , по уравнениям (5.2), (5.3) могут быть опреде-

лены динамические напряжения и деформации системы, которые будут в k д раз больше тех, которые имели бы место в системе при статическом

приложении груза Q .

Заметим, что упругие свойства системы, как видно из формулы (5.7), смягчают удар и, наоборот, сила удара тем больше, чем больше жёсткость системы.

Частный случай ударного нагружения – внезапное приложение груза, когда h = 0. В этом случае k д = 2 и a д = 2a ст , δ д = 2δ ст , т.е. при внезапном приложении нагрузки напряжения и деформации системы в два раза больше, чем при статическом нагружении.

5.5. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ УДАР ВСЛЕДСТВИЕ ВНЕЗАПНОЙ ОСТАНОВКИ ДВИЖЕНИЯ

Удар вследствие внезапной остановки движения возникает, например, в тросе лифта при внезапной остановке кабины или в балке, на которой закреплён груз Q при жёсткой посадке самолёта, имеющего верти-

кальную посадочную скорость (рис. 5.5).

Использовать формулу (5.7) для определения коэффициента динамичности нельзя, так как к моменту удара балка уже воспринимает статическую нагрузку Q . Кинетическая энергия движущейся вертикально кон-

струкции равна T = QV 2 / 2g , работа груза на дополнительном перемещении (δ д − δ ст ) − А = Q (δ д − δ ст ) (площадь прямоугольника cdef рис. 5.4).

Работа переходит в дополнительную потенциальную энергию деформации балки:

U = 1 (R д + R ст )(δ д − δ ст ) ,

соответствующей площади трапеции bcde на рис. 5.2. Приравнивая T + A = U с учётом уравнений (5.2), (5.3), получим квадратное уравнение:

V 2 + 2 (k д −1 ) = (k д + 1 )(k д −1 ) ,

g δ ст

решая которое, получим коэффициент динамичности при внезапной остановке движения:

δ ст δ д

5.6. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ УДАР

Потенциальная энергия, накопленная в системе к моменту возникновения наибольшей деформации δ д , равна кинетической энергии системы

в момент соприкосновения с ней массы m (рис. 5.6):

T = mV 2 = U = R д δ д . 2 2

δд

С учётом уравнений (5.2) и (5.3), а также, принимая условно R ст = mg , получим

V 2 = kд 2 mgδ ст ,

откуда определяем коэффициент динамичности при горизонтальном ударе:

где δст – перемещение точки системы в месте приложения к ней статической силы mg .

5.7. СКРУЧИВАЮЩИЙ УДАР

Напряжения и деформации при ударном кручении определяются так же, как и при ударном растяжении (сжатии) или ударном изгибе. При ударном кручении применимы формулы для определения коэффициента динамичности (5.5), (5.7).

Например, при ударном скручивании вследствие резкого торможения быстро вращающегося вала, несущего маховик (рис. 5.9), кинетическая энергия T маховика переходит в потенциальную энергию U деформации вала:

Потенциальная энергия деформации вала с учётом уравнений (5.2), (5.3):

U = M кр.дϕ д = k дM крϕ .

Так как угол закручивания при кручении вала круглого профиля равен

ϕ = M кр l ,

GI p

U = kд 2 M кр 2 l .

2 GI p

Приравнивая Т = U , после преобразований, получим формулу для определения коэффициента динамичности при скручивающем ударе :

6. УСТАЛОСТЬ

При эксплуатации машин и конструкций напряжения в их многочисленных элементах могут многократно изменяться как по величине, так и по направлению.

Детали, подвергающиеся воздействию переменных напряжений, разрушаются при напряжениях, значительно меньших значений предела прочности, а иногда и предела пропорциональности материала.

Явление разрушения под действием переменных напряжений называется усталостью материала.

Если значения переменных напряжений превышают некоторый предел, то в материале происходит процесс постепенного накопления повреждений, который приводит к образованию субмикроскопических трещин. Трещина становится концентратором напряжений, что способствует её дальнейшему росту. Это ослабляет сечение и в некоторый момент времени вызывает внезапное разрушение детали, которое нередко становится причиной аварий.

Процесс постепенного накопления повреждений под действием переменных напряжений, приводящий к изменению свойств материала, образованию трещин и разрушению детали, называется усталостным раз-

рушением (усталостью).

Испытания образцов на усталость проводятся на специальных установках. Наиболее простой является установка, предназначенная для испытаний на переменный изгиб с вращением при симметричном циклическом изменении напряжений.

6.1. РАСЧЁТ ВАЛА НА УСТАЛОСТНУЮ ПРОЧНОСТЬ

Проверочный расчёт вала на усталостную прочность учитывает все основные факторы, влияющие на усталостную прочность: характер изменения напряжений, абсолютные размеры вала, обработку поверхностей и прочностные характеристики материалов, из которых изготавливаются валы. Таким образом, перед расчётом вала на усталость необходимо полностью уточнить конструкцию вала.

Расчёт на выносливость заключается в определении действительных коэффициентов запаса усталостной прочности для выбранных предположительно опасных сечений и является поэтому уточнённо-проверочным.

Следует помнить, что при ступенчатой форме вала наличие концентраторов напряжений (таких как переход сечения с галтелями, напрессованные детали, шпоночные пазы, шлицы или зубья, отверстия, канавки, резьба и т.д.) опасным необязательно будет то сечение, где суммарный момент имеет наибольшую величину. Поэтому коэффициент запаса уста-